Me segurem, eu descobri que posso escrever equações!

Agora que eu descobri que posso escrever coisas em \LaTeX vou começar a me divertir um pouco mais. A princípio eu não vou fazer divulgação científica para leigos (i.e. discussões puramente qualitativas, evitando usar fórmulas). Já fiz isso por algum tempo no Física WTF e nunca ficava feliz de verdade com o resultado. Se fosse pra continuar fazendo eu ainda estaria escrevendo lá. Eu na verdade vou testar por algum tempo se faz sentido falar de assuntos aleatórios de Física/Tecnologia e o que mais vier por aí de uma forma um pouco mais técnica quando der vontade.

O tópico que eu escolhi pra hoje é algo que de certa forma todo mundo já ouviu falar, pouca gente sabe o que é, e que vocês já perceberam que eu gosto: Mecânica Quântica (sim, eu tenho que ficar mais criativo também). Vou tentar argumentar e apresentar algumas coisas sobre a estrutura algébrica da MQ da forma mais completa e menos traumática possível, pra poder falar de coisas interessantes com que eu costumo lidar em posts que vem por aí.

Eu não gosto de historinha. Vou pular essa parte e ir para o que interessa, que é basicamente uma ideia do motivo pelo qual a MQ é deveras contra-intuitiva: o princípio de incerteza de Heisenberg. Mas antes, precisamos de pré-requisitos.

Operadores lineares autoadjuntos

“Operadores o que?”

Não se assustem com nome, não vou definir precisamente o que é isso. O nome só tá aí pra não falarem que eu não citei. Operadores autoadjuntos na MQ, MUITO basicamente, são objetos matemáticos capazes de dar informações sobre um observável do sistema físico em questão.

“Mas o que é um observável?”

Observáveis são, simplesmente, coisas da Física que são observáveis, mensuráveis. Por exemplo: a posição de uma partícula, o momento, a energia, e por aí vai.

Voltando à nossa discussão, eu escolhi um exemplo simples, e bastante falado por aí pra exemplificar o que eu quero dizer: o famoso “gato de Schrödinger”. O experimento mental, pelo que o Wikipedia diz que Schrödinger escreveu é basicamente o seguinte:

“Qualquer um pode mesmo montar casos bem ridículos. Um gatp é trancado dentro de uma câmara de aço, juntamente com o dispositivo seguinte (que devemos preservar da interferência directa do gato): num tubo contador Geiger há uma pequena porção de substância radioativa, tão pequena que talvez, no decurso de uma hora, um dos seus átomos decaia, mas também, com igual probabilidade, talvez nenhum se decaia; se isso acontecer, o tubo contador liberta uma descarga e através de um relé solta um martelo que estilhaça um pequeno frasco com ácido cianídrico. Se deixarmos todo este sistema isolado durante uma hora, então diremos que o gato ainda vive, se nenhum átomo decaiu durante esse tempo. A função-\psi do sistema como um todo iria expressar isto contendo em si mesma o gato vivo e o gato morto simultaneamente ou dispostos em partes iguais.

É típico destes casos que uma indeterminação originalmente confinada ao domínio atómico venha a transformar-se numa indeterminação macroscópica, a qual pode então ser resolvida pela observação direta. Isso previne-nos de tão ingenuamente aceitarmos como válido um “modelo impreciso” para representar a realidade. Em si mesma esta pode não incorporar nada de obscuro ou contraditório. Há uma diferença entre uma fotografia tremida ou desfocada e um instantâneo de nuvens e bancos de nevoeiro.”

Deixando um pouco de lado aspectos puramente experimentais, como descrever isso matematicamente? Em primeiro lugar, precisamos definir o espaço de estados em que estamos trabalhando. A Mecânica Quântica é definida num espaço vetorial chamado de Espaço de Hilbert, que, basicamente, é um espaço vetorial complexo. Como todo bom espaço vetorial, precisamos definir uma base. A pergunta a ser feita é: o que interessa no meu sistema? Já dou a resposta: a vida do pobre gato. Sendo assim, eu crio uma base pro meu espaço de Hilbert que contém dois estados possíveis: o gato vivo (representado pelo símbolo |v\rangle) e o gato morto (representado pelo símbolo |m\rangle). Qualquer outro vetor no espaço de Hilbert em que estamos pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores da base. Em outras palavras, o estado do gato (representado pelo símbolo |g\rangle) pode ser escrito como:

|g\rangle = \alpha |v\rangle + \beta |m\rangle

“Espera aí! Você está me dizendo que o gato pode estar vivo e morto ao mesmo tempo!?”

Sim! A estrutura algébrica da Mecânica Quântica não impede nada disso. E como a vida do gato depende do estado da minha amostra radioativa, que, a saber, possui um comportamento quântico. Não tem nada de errado com essa representação.

“Mas e aí? Como saber como que o gato está?”

Simples: nós observamos! Matematicamente, isso é a mesma coisa que aplicar aquele objeto matemático de nome estranho (a.k.a. operador autoadjunto) na expressão que representa o estado do gato. Nós esperamos dois resultados possíveis: o gato estar vivo ou morto. Isso forma o que conhecemos como o espectro do operador \mathbf{V} que dá como resultado o valor do observável vida. Em palavras – um pouco – mais simples, vivo e morto são os autovalores do operador \mathbf{V}.

Obviamente que existe uma formulação mais completa e rigorosa disso, mas entendendo até aqui, já tá bem bom!

Essa ideia de operadores pode ser usada para avaliar uma série de observáveis físicos. A energia, por exemplo, está associada ao operador Hamiltoniano \mathbf{H} (esse operador é bem importante, e voltaremos a falar dele um dia).

O princípio de incerteza de Heisenberg

Vamos supor agora que eu conheça bem um sistema físico puramente quântico, e esteja interessado em testar a compatibilidade de dois operadores.

“Compatibilidade?”

Basicamente, se a ordem em que eu meço cada observável importa.

“Como assim?”

Calma, me deixa chegar lá.

Vamos supor que eu queira saber duas informações sobre um objeto quântico. Cada uma dessas informações está associada naturalmente a um observável. A primeira delas estará associada ao observável \mathbf{A} e a segunda ao observável \mathbf{B}. O estado do meu objeto quântico é representado pelo símbolo |\psi\rangle. Se eu quero saber a importância da ordem das medições de cada um desses observáveis, nada mais natural do que eu verificar se há uma diferença entre medir B, e depois A e medir A e depois B:

\mathbf{A}(\mathbf{B}|\psi\rangle) -\mathbf{B}(\mathbf{A}|\psi\rangle)

Se essa diferença der zero, tanto faz a ordem da medição, e eu digo que é possível saber simultaneamente os valores dos observáveis associados aos operadores \mathbf{A} e \mathbf{B}, ou ainda, eu posso dizer que os dois observáveis são compatíveis. Não tem nada de estranho nisso. Tudo que nós esperamos é que se eu medir a posição e o momento de uma partícula, a ordem com que eu meço cada um não importa, certo? ERRADO! Em MQ, esses dois observáveis são um dos vários exemplos de observáveis incompatíveis. Aí está toda a graça da Mecânica Quântica. Pode parecer pouco, mas as implicações físicas que a incompatibilidade de operadores trazem para sistemas quânticos são muitas, e é isso que torna MQ algo tão contra-intuitivo.

Obs.: é comum expressarmos a diferença entre as medições que aparece logo acima por meio de comutadores:

\mathbf{AB}-\mathbf{BA}=[\mathbf{A},\mathbf{B}]

lemos a expressão acima como o comutador entre A e B.

Por hoje é só, pessoal! Mas leiam meu recadinho:

Eu sei, parece que eu não faço ideia do que vai ser o conteúdo desse blog. Eu não faço mesmo. Estou só escrevendo tudo de aleatório que vem na minha cabeça, ou que eu já tenho rascunhado, ou que já li em algum lugar. Estou aceitando sugestões. Estou me divertindo muito escrevendo e recebendo o feedback de todos. Acho que tem algum jeito de vocês darem like nas postagens. Se descobrirem como, façam isso também 😀

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