Divagando sobre um dos sistemas mais importantes da MQ – parte 1

Oscilador Harmônico Quântico. Esse é o nome do cara. Chega a ser ridículo quantos problemas de Mecânica Quântica podem ser de alguma forma simplificados pra se aproveitar tudo que conhecemos desse problema. E acho que devia começar me explicando por aí.

Parábolas

A Física costuma se preocupar muito com pontos extremos de curvas. Alguns exemplos? Qual o ângulo para que um projétil lançado obliquamente alcance distância máxima? Qual o caminho que minimiza o tempo que a luz pode percorrer ao se propagar? Qual a trajetória que extremiza a ação de uma partícula? O que tudo isso tem em comum? Extremos: mínimos e máximos de curvas.

A pergunta seguinte é: qual a curva mais simples que nós conhecemos que possui um extremo? Vamos por partes. Primeiro: qual o tipo de curva mais simples que conhecemos? Polinômios. Segundo: qual o polinômio mais simples que conhecemos que possui um extremo? Polinômio de grau zero? Não. Grau 1? Também não. Grau 2? Bingo! Polinômios de grau zero são retas horizontais, todos os pontos são “mínimos e máximos ao mesmo tempo”. Não há um extremo. Polinômios de grau 1 são retas. Retas são retas. Não possuem mínimo. Polinômios de grau dois são parábolas. Essas sim possuem ou UM mínimo ou UM máximo.

Pra quem não se conforma e acha que essa simplificação é crua demais, pense que se eu fizer uma expansão em série de Taylor de uma curva nas proximidades do mínimo, uma boa descrição dela é tomando os termos até segunda ordem. Em outras palavras, parábolas.

Traduzindo isso em outras palavras: sempre que eu analiso um ponto perto de onde a energia é mínima, por exemplo, eu posso encaixar na minha função em que a energia varia uma parábola. Um exemplo real? Pense numa montanha russa. A energia potencial do carrinho que anda por ela é máxima onde a altura é máxima. Nessa região eu posso aproximar a forma da montanha russa  uma parábola. Tipo na figura abaixo:

A curva azul é uma parábola, a verde, um polinômio de grau 4, a preta, um de grau 8 e a vermelha um cosseno. TODAS ELAS NO PONTO MÁXIMO SÃO MUITO PARECIDAS. Isso significa que qualquer uma delas, num intervalo pequeno perto do zero, podem ser aproximadas pela parábola, sem perder quase nenhuma informação.

“E o que isso tem a ver com o oscilador harmônico?”

Estamos quase chegando lá, calma.

Energia potencial de um oscilador harmônico

Qual o sistema que é um oscilador harmônico e que todo mundo já viu no Ensino Médio? Um sistema massa-mola.

Lembra como é a força que um sistema dessas aplica no corpo de massa m? Simples:

F_x=-kx

E a energia potencial? Mais simples:

F_x=-\partial_x V \rightarrow V=\frac{1}{2}kx^2

CARAMBA! UMA PARÁBOLA!

“Dá pra juntar as coisas agora?”

Mas que pressa! Eu já ia fazer isso!

Oscilador harmônico e pontos extremos

Vamos voltar pra montanha-russa. Independentemente da forma da forma que essa montanha russa tenha, o ponto de maior energia dela seria uma parábola. E o ponto de menor energia? Também, obviamente. Um ponto de energia máxima não prende o carrinho, se ele estiver devagar, mas um ponto de energia mínima sim. É como se ele estivesse um “buraco” de potencial que não conseguisse escapar. Se ele quase não tiver energia mesmo quando for largado em um buraco desses, ele tenta avançar um pouco, e volta, e vai, e volta…oscilando harmonicamente. OOOOOHHHHH!!!! Isso significa que nossa aproximação da parábola é boa demais, pois ele se comporta da mesma forma que um sistema massa mola que tem um potencial parabólico.

Eu sei, eu nem cheguei na MQ ainda. E isso vai demorar um pouco, por isso tá escrito “parte 1” no título. Mas a lição de hoje é que você leitor tenha entendido que um sistema com pouca energia perto de um mínimo de potencial é aproximadamente a mesma coisa que um oscilador harmônico. Muitos problemas na Física podem ser aproximados dessa forma, e em MQ, então, muitas vezes só dá pra resolver problemas assumindo essa aproximação.

Ficou curioso pra saber mais? Se ferrou, só amanha! 😛

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