Divagando sobre um dos sistemas mais importantes da MQ – parte 2

No post anterior, eu acho que convenci vocês da importância do oscilador harmônico na Física. Agora é hora de deixar ele um pouco mais quântico. A ideia de hoje é escrever a equação de Schrödinger para o sistema.

“Que?”

Calma, eu vou falar sobre a equação de Schrödinger primeiro.

A equação de Schrödinger

Lembra que num post mais anterior que o último eu falei que existem operadores autoadjuntos que estão associados a observáveis, e em particular, existe um operador autoadjunto \mathbf{H}, chamado operador Hamiltoniano, que está associado ao observável de energia?

“Lembro sim, claro, eu sempre leio e decoro tudo que está escrito em suas postagens.”

Que bom! Pois então, esse operador é basicamente o que define a equação de Schrödinger. A forma independente do tempo dessa equação (e, não, eu não vou entrar na discussão da dinâmica do sistema) é simples assim:

\mathbf{H}|\psi\rangle = E|\psi\rangle

Em outras palavras, \mathbf{H} é um operador que atua nos vetores de estado |\psi\rangle e gera um conjunto de autovalores que nada mais são que as possíveis energias do sistema. Esse conjunto de autovalores é o espectro do operador Hamiltoniano (as coisas não são tão bonitas assim se o operador não for limitado, mas não vou discutir isso também porque o blog é meu e eu faço o que eu quero).

O operador Hamiltoniano é algo análogo a uma função da Mecânica Clássica chamada Hamiltoniana. Isso é mais uma coisa que eu não vou discutir aqui.

“Nossa! Você tá folgado hoje!”

Eu to de férias e escrevendo sobre MQ. Sério mesmo que você tá me chamando de folgado?

Tudo que você precisa saber pra continuar essa discussão é que no caso do oscilador harmônico, a Hamiltoniana vai ser a soma da energia cinética com a potencial:

\mathcal{H}=T+V

Sim, eu pulei muita coisa. Mas vamos ficar por isso mesmo e fingir que nada aconteceu. Uma observação que não pode ser deixada de lado, é que em vez de velocidade, nós temos que usar momento p na Hamiltoniana.

O potencial a gente já sabe que é V=\frac{1}{2}kx^2. A energia cinética escrita como função do momento é \frac{p^2}{2m}. A Hamiltoniana fica sendo, então:

\mathcal{H}=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2

Agora, espertamente, nós assumimos que o operador Hamiltoniano também é a soma dessas duas energias. A única diferença é que o momento e a posição são também observáveis representados por operadores, em MQ, respectivamente \mathbf{P} e \mathbf{Q}.

\mathbf{H} = \frac{1}{2m}\mathbf{P}^2+\frac{k}{2}\mathbf{Q}^2

Antes de sair resolvendo as contas, uma breve discussão sobre operadores momento e posição.

Um review do princípio de incerteza de Heisenberg

Lembra que eu falei sobre compatibilidade de operadores e que o momento e a posição são incompatíveis? Se eles são incompatíveis, significa dizer que se eu aplicar esses operadores em ordens diferentes no vetor de estado |\psi\rangle eu vou ter um resultado diferente de zero:

\mathbf{QP}|\psi\rangle-\mathbf{PQ}|\psi\rangle \neq 0

Mas se não é igual a zero, é igual a quanto? Usando a notação de comutadores (pra uma dimensão), a diferença é

[\mathbf{Q,P}]=i\hbar

Hoje acaba por aqui. Amanhã, ou assim que eu criar coragem pra postar a continuação, eu vou falar sobre os operadores criaçãoaniquilação. Nome legal, né? Então não perca o próximo texto.

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