O fenômeno da supercondutividade – parte 2

No último post discutimos todo o percurso que foi necessário para nosso querido Onnes descobrir a existência da supercondutividade. Isso em 1911. Durante os anos seguinte, Onnes continuou suas pesquisas, procurando novos materiais supercondutores, juntamente com um ou outro grupo de pesquisa no mundo que começava a aprender a alcançar as temperaturas criogências necessárias pra medir esse fenômeno.

Alguns anos depois, em 1933, pra ser mais exato, uma dupla de pesquisadores encontrou mais uma propriedade muito importante nesses materiais: o diamagnetismo perfeito (conhecido também como efeito Meissner-Ochsenfeld, a tal dupla). O que é isso? Esse efeito nada mais é que a capacidade dos materiais supercondutores de repelir totalmente um campo magnético aplicado. Ou seja, se eu colocar um material supercondutor num campo de 1T, ele vai gerar um campo interno de 1T no sentido oposto, pra que no final das contas os dois se cancelem. Esse campo interno é gerado por correntes elétricas bastante intensas que um supercondutor é capaz de suportar. Mas assim, como a temperatura, existe um campo magnético a partir do qual o material deixa de ser supercondutor, chamado de campo crítico (para a temperatura, o nome é temperatura crítica), e, obviamente, uma corrente elétrica crítica. Esses são os três parâmetros termodinâmicos que limitam o estado supercondutor.

Agora se sabiam coisas importantes o suficiente pra começar a tentar colocar no papel o fenômeno da supercondutividade, e tentar prever comportamentos. Os primeiros a começarem a ter algum sucesso com isso foi uma dupla de irmãos Heinz (melhor que Heinz não faz) e Fritz London. Os dois bolaram uma teoria para descrever a eletrodinâmica de um material supercondutor tendo em vista o que se sabia dos parâmetros críticos desses materiais. Juntos, os dois mostraram que a energia livre num supercondutor é minimizada para a equação de campo

\nabla^2 \mathbf{H} = \frac{1}{\lambda^2} \mathbf{H}

e se você tem algum conhecimento de matemática, podemos brincar um pouco com essa equação. Se não tem, pule o texto em negrito e esqueça que viu a equação acima. Só discutiremos a teoria de London com mais detalhes, nada que vai te fazer falta.

No caso unidimensional, pensando nem uma das paredes do supercondutor em x=0 e a outra muito distante dela, de forma que numa primeira aproximação, o supercondutor ocupa todo o eixo x>0, temos

\frac{d^2\mathbf{H}}{dx^2} = \frac{1}{\lambda^2}\mathbf{H}

cuja solução é

\mathbf{H}(x) = Ae^{x/\lambda} + Be^{-x/\lambda}

mas sabemos que dentro do supercondutor o campo magnético é nulo. Isso significa dizer que \lim_{x \rightarrow \infty} \mathbf{H}(x) = 0, que faz com que precisemos ter A = 0. Já a constante B pode ser encontrada pensando na segunda condição de contorno: o campo magnético na interface entre o supercondutor e a região externa a ele, dada por \mathbf{H}(0) = H_{ext}, que leva a B = H_{ext}. Finalmente, temos,

\mathbf{H}(x) = H_{ext} e^{- x / \lambda} .

Isso significa que o campo magnético cai exponenciamente logo na interface entre o supercondutor e a região externa, com comprimento característico $\lambda$ que é tipicamente da ordem de nanometros. Isso significa que pra uma amostra de tamanhos da nossa ordem de grandeza, não tem campo nenhum dentro do material, ou seja, ele é um diamagnético perfeito, para todos os efeitos.

Em 1950, dois caras se juntaram pra tentar encontrar uma teoria um pouco mais geral que essa. A ideia deles foi pensar que existe uma função que é igual a $1$ dentre de toda a região supercondutora e $0$ para regiões não supercondutoras. O legal dessa função é que ela permite que, nos lugares em que a função está em algum valor entre zero e um, o material é não tão supercondutor assim. Essa função recebe o nome de parâmetro de ordem $\psi$, pois ela expressa matematicamente as regiões em que há o ordenamento eletrodinâmico necessário para que exista o estado supercondutor ou não. O nome da teoria recebeu o nome dos dois caras: teoria de Ginzburg-Landau. A ideia foi, novamente, encontrar os valores que minimizavam a energia livre, mas agora em termos desse parâmetro de ordem. Isso levou ao conjunto de equações de Ginzburg-Landau (pode nem olhar se quiser):

\alpha \psi + \beta |\psi|^2 \psi + \frac{1}{2m}(-i \hbar \nabla - 2e\mathbf{A})^2 \psi = 0

\mathbf{j} = \frac{2e}{m}Re\{\psi^*(-i\hbar \nabla -2e\mathbf{A})\psi\}

em que \mathbf{j} é a densidade de corrente, \mathbf{A} é o potencial vetor, m é a massa do elétron e e a carga; \alpha e \beta são parâmetros a se determinar. No fundo, pra quem sabe um pouco de mecânica quântica, essa é meio que uma equação de Schrödinger “efetiva” para o estado coerente dos elétrons condensados no estado supercondutor (mas isso é pro próximo post).

Resolver as equações de Ginzburg-Landau é encontrar esse parâmetro de ordem. E, o que esperaríamos, é uma função que dentro do material fosse igual a 1, e fora dele 0. Na verdade, olhando pra equação de London, é de se imaginar que, quando tem um campo magnético aplicado, essa função está entre zero e um bem nas bordas do material supercondutor. Tudo funcionava perfeitamente.

Mas como alguma coisa tem que acontecer quando tá tudo indo muito bem, eis que surge um cara bem rebelde, chamado Abrikosov, que implicou que as equações de Ginzburg-Landau poderiam ter uma outra solução. Essa solução foi obtida por séries de Fourier e a solução vai ficar a cargo do leitor. O que todo mundo que tá lendo precisa saber é que essa solução mostrava a existência de dois tipos de materiais supercondutores. Um deles com o comportamento bonitinho que descrevemos até agora. A outra indicava que pode existir materiais em que o campo magnético não entra só um pouquinho nas bordas, mas pode entrar em todo o material, na forma de cilíndros bem fininhos que se espalham numa estrutura periódica. Mas e daí? Ninguém nunca viu isso acontecer mesmo… Até que viram. E aí os materiais supercondutores foram divididos em dois grupos. Os tipo-I e tipo-II.

Pronto, mais um episódio finalizado. Mas ainda falta discutir o que faz um material resolver ser supercondutor. Isso será o próximo episódio. 😉

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